為學(xué)生上 “有意義”的數(shù)學(xué)課

我個人認(rèn)為，要為學(xué)生上“有意義”的數(shù)學(xué)課。這樣的數(shù)學(xué)課堂，不能止于知識的傳承，要關(guān)注內(nèi)容的本源，學(xué)習(xí)深刻的數(shù)學(xué)，要基于數(shù)學(xué)的邏輯引導(dǎo)學(xué)生掌握發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的方法。

 “做影響學(xué)生一生發(fā)展的數(shù)學(xué)教育”幾乎是每位數(shù)學(xué)教師的愿景。1996年，我懷著對教育的夢想，踏上了神圣的教育講臺，26年來，我一直在思考，我的數(shù)學(xué)教學(xué)要帶給學(xué)生什么。

個人簡介

潘洪艷，山東省實驗中學(xué)正高級數(shù)學(xué)教師。全國優(yōu)秀教師，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎獲得者，齊魯名師，山東省教學(xué)能手，山東省三八紅旗手，山東省省級學(xué)科工作坊主持人，山東師范大學(xué)、濟南大學(xué)校外研究生指導(dǎo)教師。主持多項科研課題，在全國中文核心期刊發(fā)表論文多篇，出版專著《高中數(shù)學(xué)教與研的實踐與思考》。

從“教什么”到“如何教”

當(dāng)年，一位教授曾在我大學(xué)畢業(yè)時叮囑我：“年輕教師面臨的最大問題是學(xué)科視野的局限性?！背跞虢虊奈译m深以為然，但還是認(rèn)為以自己優(yōu)秀的學(xué)業(yè)水平，教好課是沒有問題的。但是當(dāng)我把準(zhǔn)備了十幾遍的第一節(jié)課一口氣講完時，自己也覺得不對勁——我的課堂成了教師自己的課堂，學(xué)生在哪兒？正當(dāng)我充滿疑惑時，我的導(dǎo)師邵麗云老師問我：“你的數(shù)學(xué)課要帶給學(xué)生什么？”

這一問讓我猶如醍醐灌頂。為了想清楚自己究竟要帶給學(xué)生什么，我開始大量閱讀教育教學(xué)著作、專業(yè)期刊，在對照中不斷反思自己的教學(xué)行為；主動去資深教師的課堂上聽課，看他們?nèi)绾雾槕?yīng)學(xué)生思維捕捉教學(xué)契機；積極參加團隊教研活動，在交流與分享中積累教學(xué)智慧。 

在這一過程中，我逐漸明白自己要教什么。數(shù)學(xué)要帶給學(xué)生“知”與“識”，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、感知數(shù)學(xué)、建立數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的過程。如橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)有很多選擇：有生活場景，圓柱形水杯與桌面成30度夾角時的水面邊緣、球的點光源投影或手電筒射出光束與黑板面角度不同時投射出的光圈曲線等；有應(yīng)用場景，如行星圍繞恒星的運行軌道等；有歷史背景，可通過追溯圓錐曲線的歷史，介紹古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》等。這些均可引導(dǎo)學(xué)生理解橢圓為何產(chǎn)生以及橢圓的產(chǎn)生過程，借助當(dāng)?shù)绿m雙球?qū)嶒灥玫綌?shù)量關(guān)系，“畫”橢圓、“折”橢圓，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中理解數(shù)學(xué)。

下一步，我開始思考不同課型該如何教。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和形式，數(shù)學(xué)課型可分為新授課（概念課、規(guī)則課）、復(fù)習(xí)課、講評課、探究課、建模課等。新授課關(guān)注“為什么”“是什么”“如何想的”“從哪里想的”“還有什么”，教學(xué)中重視情境構(gòu)建、把握本質(zhì)、關(guān)注遷移；復(fù)習(xí)課重視對學(xué)生系統(tǒng)構(gòu)建能力的培養(yǎng)，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深化理解、整體構(gòu)建，關(guān)注思維生長；講評課則由例及類，深度促思；探究課關(guān)注數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”；建模課關(guān)鍵在于“過程”“實踐”“活動”。

在研究如何教的過程中，我逐漸領(lǐng)悟教師不僅要清楚教什么，更要思考不教什么。教師應(yīng)適時成為學(xué)生的“身后人”，把發(fā)現(xiàn)留給學(xué)生、把“漁場”留給學(xué)生、把個性體驗留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生體會自主探究的樂趣。

從“如何教”到“為什么教”

一次期末考試，學(xué)生的成績差異很大，一些考試結(jié)果不理想的學(xué)生情緒低落，反映試題難度大，部分題目不適應(yīng)。問題出在哪里？仔細(xì)分析試題之后，我發(fā)現(xiàn)整套試題對數(shù)學(xué)能力考查全面，部分題目背景新穎，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的滲透以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)閱讀、知識遷移、數(shù)學(xué)建模等都提出了較高要求。學(xué)生成績差異拉大，說明我課堂上的教與學(xué)都需要改進。

這讓我再次思考：我的數(shù)學(xué)教學(xué)要培育學(xué)生什么？從“教什么”到“如何教”，需要明確“為什么而教”“為什么這樣教”。我個人認(rèn)為，要為學(xué)生上“有意義”的數(shù)學(xué)課。這樣的數(shù)學(xué)課堂，不能止于知識的傳承，要關(guān)注內(nèi)容的本源，學(xué)習(xí)深刻的數(shù)學(xué)，要基于數(shù)學(xué)的邏輯引導(dǎo)學(xué)生掌握發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的方法。

在這一理念下，我的課堂教學(xué)也在發(fā)生改變。如函數(shù)概念的教學(xué)，這是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的第一個一般意義上的抽象概念。經(jīng)過思考，我決定選擇兩個教學(xué)立足點——初中定義和豐富實例，并通過活動設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生在主動實踐中抽象出集合對應(yīng)下的函數(shù)概念，體會初中定義的“動”與高中定義的“靜”，讓學(xué)生明白：為什么學(xué)——采用“集合—對應(yīng)”說的必要性；學(xué)什么——概念與研究過程（路徑）；怎么學(xué)——研究方法，讓數(shù)學(xué)教學(xué)的“明”線更明、“暗”線不暗。

學(xué)生的課堂反饋也給予我信心。在總結(jié)課堂感悟時，就有學(xué)生表示“我感覺到數(shù)學(xué)抽象的力量”“我學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)走向抽象化和符號化”“我學(xué)到了如何去研究一個概念”“我覺得變量說與集合對應(yīng)說是從不同角度和立場去認(rèn)識函數(shù)”，甚至還有學(xué)生能清晰說出自己是怎樣進行數(shù)學(xué)抽象的。

我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中為自己加上“研究者”這一身份時，他們就會積極調(diào)動自身的主動性，基于數(shù)學(xué)邏輯實現(xiàn)自主學(xué)習(xí)。在講解函數(shù)奇偶性的課堂上，我問：“幾個函數(shù)圖像除了顯示單調(diào)性是否還有其他特征？”學(xué)生不僅回答“對稱性”，還能說出“類比單調(diào)性的研究方法，要定量描述對稱性”。再比如教數(shù)列時，我提出：“研究一個新的數(shù)學(xué)概念，需要經(jīng)歷一個怎樣的研究過程？”學(xué)生們嘗試運用建構(gòu)學(xué)習(xí)新概念的一般學(xué)習(xí)方法去研究數(shù)列，遇到新問題也會積極探究、迎難而上。

數(shù)學(xué)概念的發(fā)展史本質(zhì)上是一個不斷抽象的過程，根據(jù)歷史相似性原則，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)科發(fā)展歷史的視角進行研究。如函數(shù)概念的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生查閱史料，從格雷戈里、牛頓、萊布尼茨、歐拉、柯西、戴德金、布爾巴基學(xué)派等數(shù)學(xué)家的貢獻分析函數(shù)概念的各階段，體會其發(fā)展與演變。再如對數(shù)的教學(xué)，課上關(guān)注整體性，以追溯運算的發(fā)展歷程為對數(shù)的生成找到支點，理解對數(shù)的存在意義；課下指導(dǎo)學(xué)生梳理史料，從早期的簡化運算的思想到奈皮爾、別爾基創(chuàng)立對數(shù)，再到對數(shù)符號的發(fā)明以及我國數(shù)學(xué)家對對數(shù)的研究，引導(dǎo)學(xué)生通過梳理脈絡(luò)追溯對數(shù)的發(fā)展，理解對數(shù)的本源。立足于概念發(fā)展的本源去研究概念，意在讓學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)知識的同時體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，感悟數(shù)學(xué)中的科學(xué)精神。

當(dāng)然，教學(xué)沒有固定模式?！暗离m邇，不行不至；事雖小，不為不成?！敝挥刑鲆蜓嘏f的教學(xué)“舒適區(qū)”，在繼承優(yōu)良傳統(tǒng)、借鑒先進經(jīng)驗的基礎(chǔ)上大膽創(chuàng)新，才有可能創(chuàng)造、發(fā)展更多的可能性。

從“我教學(xué)生”到“師生共進”

教學(xué)是師生相互促進、結(jié)伴成長的歷程。學(xué)生在教師用心創(chuàng)造的環(huán)境中發(fā)展才智與潛能，同時教師也不斷被學(xué)生新的探索所激勵，促進教學(xué)相長。

在多年教學(xué)過程中，我逐漸認(rèn)識到，教師是學(xué)生內(nèi)在生長力量的“喚醒者”。于是，通過梳理多年的教學(xué)與教研實踐，我進一步完善課堂教學(xué)觀，打造高中數(shù)學(xué)“生”“動”思維課堂——生即生成、生動、“生”動，動即動態(tài)、主動、互動。

教學(xué)是生成的，課堂是動態(tài)的，這個過程充滿著師生在共同思考中相互激發(fā)的力量。曾有一次在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義坐標(biāo)化、移項平方后的等式有這樣的幾何特征：橢圓上點到一個定點與到一條定直線的距離之比是焦距與長軸的比。他提出：“滿足這個條件的點的軌跡是橢圓嗎？”由此引發(fā)其他學(xué)生對方程的研究興趣，接著又有學(xué)生提出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形后有幾何特征：“橢圓上異于長軸端點的任意一點與長軸兩端點連線斜率之積為一個定值，那么滿足這個條件的點的軌跡是橢圓嗎？”學(xué)生們接二連三的提問激發(fā)了我，于是我決定調(diào)整教學(xué)方案，轉(zhuǎn)而由“數(shù)”到“形”，以橢圓為例展現(xiàn)解析幾何的特征，讓學(xué)生完整理解坐標(biāo)法。快下課時，我建議學(xué)生“繼續(xù)研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，能否有新的發(fā)現(xiàn)”，于是經(jīng)過學(xué)生們自己的思考與探討，一篇篇關(guān)于如何得到橢圓、解析幾何初識等主題的數(shù)學(xué)小論文在班級里形成了。

而后，我又把視線聚焦于課程，課程的品質(zhì)決定著育人的品質(zhì)，面對高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)，我和同事們對本校的數(shù)學(xué)課程進行了整合，打造出數(shù)學(xué)博學(xué)課程、數(shù)學(xué)空間課程、數(shù)學(xué)登攀課程三大課程群，以及“三引”教學(xué)體系。分層與精準(zhǔn)相結(jié)合的教學(xué)體系，在為學(xué)生夯實基礎(chǔ)的同時，也為學(xué)生不同的志趣和發(fā)展提供了個性化成長的空間。

多年來，我收獲了一屆屆學(xué)生豐厚的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)回報，和學(xué)生們一起享受著師生共進的快樂。有名學(xué)生說，數(shù)學(xué)課原來是“玄之又玄”，現(xiàn)在是“眾妙之門”。一名原本對數(shù)學(xué)發(fā)怵的女生悄悄告訴我：“老師，我才發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)世界也可以這樣繽紛美麗！”其實我也想對我的學(xué)生們說：謝謝你們，這個過程是我們用彼此的智慧和激情共同完成的，它讓我在課堂上體驗到生命的增值與律動！

“數(shù)學(xué)教學(xué)的探索永無止境，但我們有一顆滾燙的敬業(yè)樂業(yè)之心，鐘情于數(shù)學(xué)教學(xué)，踏踏實實，不懈追求，必然在數(shù)學(xué)教學(xué)的征途上留下一串串閃光的腳印，年齡隨著時光而老去，但教育的心永遠(yuǎn)是年輕的。”這是我的導(dǎo)師邵麗云老師曾說過的一段話，它時刻鞭策我永葆初心，在數(shù)學(xué)教學(xué)的探索征途中馳而不息，努力為學(xué)生上一堂又一堂“有意義”的數(shù)學(xué)課。

《中國教育報》2022年10月21日第9版