數(shù)學(xué)高考題“新”在哪兒

    ■高考典型試題解析 

    2022年新高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷，被一些人認(rèn)為是“史上最難”，對(duì)此我們應(yīng)該冷靜而客觀地分析。其實(shí)今年高考數(shù)學(xué)除了運(yùn)算量比較大之外，既無(wú)高難度的技巧，也無(wú)特別復(fù)雜的題型套路。我認(rèn)為，這種“難”，其實(shí)是高考命題新理念、新變化帶給考生和教師的不適應(yīng)，主要體現(xiàn)在四個(gè)方面。

    情境化試題使思維起點(diǎn)前移

    情境化是新高考命題的一大特點(diǎn)，此類問(wèn)題求解的關(guān)鍵是“解?！?，即將生活中的實(shí)際問(wèn)題、探索情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，并借助常規(guī)的數(shù)學(xué)模型求解。若命題時(shí)將情境化試題的思維起點(diǎn)由“解?！鼻耙浦练沁B續(xù)性文本“閱讀”和數(shù)量關(guān)系梳理，就成了“數(shù)學(xué)建模”問(wèn)題，其關(guān)鍵不是“解模”，而是要用數(shù)學(xué)的眼光看世界，讀懂生活中的德、智、體、美、勞，用數(shù)學(xué)的思維理解題意、建立模型。大量刷題能對(duì)“解?！笔炷苌?，卻不一定對(duì)“建?！毙兄行А?/P>

    比如，2022年北京卷第7題：

    在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)。如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar。下列結(jié)論中正確的是（）

    A.當(dāng)T=220，P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

    B.當(dāng)T=270，P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

    C.當(dāng)T=300，P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

    D.當(dāng)T=360，P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

    【解讀】這道題以北京冬奧會(huì)上國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)為背景，以圖形方式給出二氧化碳所處的狀態(tài)與溫度、壓強(qiáng)的關(guān)系，考查考生讀圖、識(shí)圖、分析圖表數(shù)據(jù)、估值等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。這道題創(chuàng)設(shè)的情境新穎，教材上沒(méi)見(jiàn)過(guò)，教師沒(méi)講過(guò)，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本原理的靈活綜合運(yùn)用。

    情境化問(wèn)題是新高考重要的考查載體。近年高考試題用體現(xiàn)中國(guó)特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代的新材料、新情境、新問(wèn)題，將考查內(nèi)容進(jìn)行“包裝”，使思維的起點(diǎn)由“解?！鼻耙浦痢敖！??！敖！毙枰氖蔷C合能力與素養(yǎng)，無(wú)法像“解?！蹦菢涌偨Y(jié)出固定的套路供考生模仿。

    呈現(xiàn)方式的改變讓熟練的技能頓失用武之地

    改變呈現(xiàn)方式是推陳出新的重要手段，除了常規(guī)的換個(gè)說(shuō)法外，將已知條件由基本量后移至導(dǎo)出量是一種更高層次的“推陳出新”?；玖渴侵冈诹恐浦屑s定地被認(rèn)為是相互獨(dú)立的量。導(dǎo)出量是指由基本量根據(jù)有關(guān)公式推導(dǎo)出來(lái)的其他量。由基本量求解導(dǎo)出量，只需要借助相關(guān)的公式、定理等；由導(dǎo)出量求解基本量，則是較為復(fù)雜的逆向問(wèn)題；由此導(dǎo)出量求解彼導(dǎo)出量，則需要基本量來(lái)中轉(zhuǎn)信息，或者依據(jù)整體思想進(jìn)行整體代換——需要對(duì)各量之間的相互聯(lián)系有整體的理解與把握。大量重復(fù)的刷題訓(xùn)練，主要是由基本量求解導(dǎo)出量，一旦面對(duì)由此導(dǎo)出量求解彼導(dǎo)出量的高考試題，考生就會(huì)感覺(jué)極不適應(yīng)。

    比如，新高考全國(guó)Ⅰ卷第19題：

    如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為4，△A₁BC的面積為2√2。

    （1）求A到平面A₁BC的距離；

    （2）設(shè)D為A₁C的中點(diǎn)，AA₁=AB，平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁，求二面角A-BD-C的正弦值。

    【解讀】本題已知量不是一些基本量，而是一些導(dǎo)出量：已知條件不是一維長(zhǎng)度，而是二維面積和三維體積；已知條件不是線線垂直，而是面面垂直；已知條件不是平面角，而是空間角。

    新課標(biāo)倡導(dǎo)整體思維，類似這樣的題目正是考查整體思維的絕佳材料。用陌生的呈現(xiàn)方式考查考生熟悉的問(wèn)題的核心本質(zhì)及其通性通法，既能考查考生的能力，又能確保公平公正。

    開(kāi)放性探究性的設(shè)問(wèn)有效考查考生綜合素質(zhì)

    探究性、開(kāi)放性試題是考查基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與創(chuàng)新能力的絕佳載體，它從獨(dú)特的角度對(duì)學(xué)科知識(shí)進(jìn)行多方位、深層次的考查，體現(xiàn)考生的個(gè)性品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)，鼓勵(lì)有獨(dú)特見(jiàn)解、有思想水平、有創(chuàng)新精神的答案。這不是考生通過(guò)大量刷題就能有效應(yīng)對(duì)的，它需要考生具備必要的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力。

    比如，全國(guó)乙卷第14題：

    過(guò)（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)____。

    【解讀】該題答案不唯一，開(kāi)放的問(wèn)題中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思維，給不同水平的考生提供了多層次的思考空間：平面內(nèi)不共線的任意3點(diǎn)確定一個(gè)圓，但題目偏偏給出不共線的四個(gè)已知點(diǎn)，這讓不同層次的考生都有表現(xiàn)自我的機(jī)會(huì)，似乎區(qū)分度不大，但選擇的三個(gè)點(diǎn)不同，運(yùn)算量和運(yùn)算難易度不一樣。運(yùn)算量大的不僅更容易算錯(cuò)，而且常常造成隱性的時(shí)間丟分。該題在考查思維的靈活性和深刻性方面具有很好的選拔功能。

    開(kāi)放性探究性的設(shè)問(wèn)方式，鼓勵(lì)批判性思維與創(chuàng)造性思維，這類試題在很大程度上可以彌補(bǔ)封閉性試題求同思維的不足，直擊題型教學(xué)與機(jī)械刷題的痛點(diǎn)。

    解題路徑的創(chuàng)新讓題型教學(xué)束手無(wú)策

    數(shù)學(xué)是一門(mén)關(guān)于“模式”的學(xué)科——發(fā)現(xiàn)和使用數(shù)學(xué)模式的學(xué)科，在學(xué)習(xí)初期，題型教學(xué)和一定量的模仿訓(xùn)練不僅是掌握新知識(shí)及其思想方法的必要步驟，而且還可以熟能生巧，故而很多師生都“沉迷”在這個(gè)舒適區(qū)。但在實(shí)際教學(xué)中，它存在三個(gè)嚴(yán)重問(wèn)題：一是缺失題型及解題模型的生成過(guò)程，教師總是傾向于對(duì)每類問(wèn)題總結(jié)出解題方法，然后讓學(xué)生直接應(yīng)用，由于將大量時(shí)間花在模仿練習(xí)和記憶教師總結(jié)的分類題型上，缺失了數(shù)學(xué)模式的生成過(guò)程及解決問(wèn)題的過(guò)程，造成學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)模式的認(rèn)識(shí)停留于表面，在新情境中使用數(shù)學(xué)模式解題時(shí)就顯得生硬、機(jī)械，遇到新題型不知從何入手。二是題型教學(xué)和模仿訓(xùn)練不是終點(diǎn)，更不是終極目標(biāo)，僅是快速掌握新知識(shí)及其思想方法、提升核心素養(yǎng)和能力的載體，到了一定階段后必須脫離模仿訓(xùn)練而注重思維能力提升。三是過(guò)度訓(xùn)練會(huì)剝奪考生獨(dú)立思考、自由發(fā)揮的機(jī)會(huì)，訓(xùn)練的結(jié)果是培養(yǎng)出規(guī)格型和特殊型“人才”，思維僵化，很難有創(chuàng)新思想，面對(duì)沒(méi)見(jiàn)過(guò)的高考“新題”自然就不知所措。

比如，新高考全國(guó)Ⅰ卷第22題：

    已知函數(shù)f（x）=e^x-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值。

    （1）求a；

    （2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。

    【解讀】本題第二問(wèn)求證三點(diǎn)橫坐標(biāo)為等差數(shù)列，看似很復(fù)雜，如果能注意到同構(gòu)式，操作起來(lái)就不會(huì)有太大的問(wèn)題了。

    有些教師不注重“題型”及其通性通法的生成過(guò)程，另一方面又止步于機(jī)械的題型教學(xué)和模仿訓(xùn)練，在教與學(xué)中就題論題，不對(duì)例題習(xí)題進(jìn)行改編和拓展延伸，缺乏一題多變、一題多解、多題一解、多法歸一。只有對(duì)所學(xué)知識(shí)題型及其思想方法縱橫審視、反復(fù)琢磨，才可能從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的核心本質(zhì)，才可能窺見(jiàn)普適性的數(shù)學(xué)思想與理性精神，從而在更高層次提升考生的核心素養(yǎng)與人文精神。

    面對(duì)新課標(biāo)、新教材和新高考改革，如果忽視學(xué)科思維的養(yǎng)成，沒(méi)有形成完整的學(xué)科體系，知其然而不知其所以然，學(xué)生在考場(chǎng)上遇到陌生情境、陌生材料、陌生設(shè)問(wèn)方式時(shí)，不能進(jìn)行有效思維分析，就會(huì)自亂陣腳，無(wú)法獨(dú)立思考、靈活應(yīng)變。

    （作者單位系對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)）

《中國(guó)教育報(bào)》2022年10月28日第10版