高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)如何做到“知己知彼”

■本期聚焦·高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考策略

很多人將高考考場(chǎng)比作戰(zhàn)場(chǎng)。我們?nèi)绾尾拍艽蜈A這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)呢？《孫子兵法》中有句名言：“知彼知己，百戰(zhàn)不殆；不知彼而知己，一勝一負(fù)；不知彼不知己，每戰(zhàn)必殆?！备呖紨?shù)學(xué)復(fù)習(xí)亦是如此。

教師要研究高考，辯證認(rèn)識(shí)試題的“穩(wěn)”與“新”

教師必須深入了解高考，這是高三復(fù)習(xí)的前提和基礎(chǔ)。目前教師了解高考信息的主渠道是教育主管部門組織的教研活動(dòng)和學(xué)校的內(nèi)部傳達(dá)。除此之外，教師還應(yīng)根據(jù)自身實(shí)際情況對(duì)所屬學(xué)科高考進(jìn)行研究。以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，教師應(yīng)通過(guò)如下三個(gè)途徑增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)高考的認(rèn)知。

一是讀政策文件，了解高考改革方向，避免小道消息滿天飛。由“一核、四層、四翼”為主要內(nèi)容的高考評(píng)價(jià)體系，明確了“為什么考、考什么、怎么考”的問(wèn)題。高考數(shù)學(xué)科的功能定位為：發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，以測(cè)試數(shù)學(xué)綜合能力、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，通過(guò)創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)與試題形式，更好地實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的核心功能。

二是讀文獻(xiàn)材料，體會(huì)高考政策在數(shù)學(xué)科的具體要求。每年高考之后，教育部教育考試院都會(huì)第一時(shí)間“官宣”，《中國(guó)教育報(bào)》等專業(yè)媒體也會(huì)刊發(fā)分析試題的文章，教師在閱讀時(shí)要有所思考，特別在考慮如何借鑒時(shí)要有所選擇。高考命題有嚴(yán)格要求，要嚴(yán)格依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，確保內(nèi)容不超范圍、深度不超要求，教師在讀文獻(xiàn)材料時(shí)要心中有數(shù)。

三是研做真題，體會(huì)政策如何落實(shí)在題目中。對(duì)于近年高考真題，教師要反復(fù)做，通過(guò)解題理解考試對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的具體要求，理解考試對(duì)學(xué)生能力的具體要求。整套做，有助于了解全卷的整體結(jié)構(gòu)；分類做，有助于了解同類問(wèn)題的呈現(xiàn)規(guī)律。

研究高考的重中之重，是要認(rèn)識(shí)到試題“穩(wěn)”在哪里，又“新”在哪里。

保持命題穩(wěn)定，這是高考命題的基本要求。教師應(yīng)通過(guò)做真題、研真題，對(duì)照課標(biāo)和教材，理解高考數(shù)學(xué)科的知識(shí)體系與課程標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)體系的一致性，理解教材中通過(guò)“歸納”“探索”等活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生能力的設(shè)計(jì)與考試通過(guò)開(kāi)放、探究問(wèn)題考查學(xué)生能力的要求的一致性。

近年高考命題強(qiáng)調(diào)以情境作為考查內(nèi)容和考查要求的載體，這是高考命題改革創(chuàng)新的一個(gè)重要方向。目前高考數(shù)學(xué)的試題情境分為課程學(xué)習(xí)情境、生活實(shí)踐情境、探索創(chuàng)新情境。課程學(xué)習(xí)情境試題主要關(guān)注已有的知識(shí)基礎(chǔ)和準(zhǔn)確程度，具有穩(wěn)定性。生活實(shí)踐情境試題主要考查“去情境化”能力，要求考生會(huì)將具體情境化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。探索創(chuàng)新情境試題，需要學(xué)生利用已有知識(shí)和技能，借助特殊與一般、歸納概括、類比，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，充分調(diào)動(dòng)已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，分析問(wèn)題解決問(wèn)題。因此，新情境類題目雖然看起來(lái)新，但是解決新題的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，都是課程標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)的。

真正了解高考，教師要做到在穩(wěn)定的題目中理解變化和發(fā)展；在創(chuàng)新的題目中理解知識(shí)和方法的基礎(chǔ)性、靈活性，尤其是要體會(huì)高考考查要求的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性是如何體現(xiàn)的。

教師要研究學(xué)生，因人制宜采取針對(duì)性指導(dǎo)策略

教師整天和學(xué)生在一起，但未必真正了解自己的學(xué)生。筆者曾做過(guò)一項(xiàng)調(diào)查，對(duì)于一道難度系數(shù)為0.85（理論上難度系數(shù)大于0.75的題目較為簡(jiǎn)單）的高考數(shù)學(xué)題，被調(diào)查的不同學(xué)校數(shù)學(xué)教師中，認(rèn)為難和比較難的超過(guò)40%。這顯然和學(xué)生的作答情況不符。

課堂教學(xué)中也會(huì)出現(xiàn)類似的情況。筆者聽(tīng)過(guò)一節(jié)高三一模試卷講評(píng)課，重點(diǎn)是復(fù)習(xí)立體幾何的內(nèi)容。教師設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)為：“理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。”教學(xué)重點(diǎn)為分析試卷中解答題的解答思路。授課中，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)用向量法計(jì)算空間角的相關(guān)公式，再講解試卷中的立體幾何綜合題。我們?cè)诼?tīng)課中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于公式非常清楚，此題出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是在建立空間直角坐標(biāo)系的過(guò)程中出錯(cuò)，再細(xì)分析，是由于立體圖形底面是不規(guī)則的四邊形，學(xué)生對(duì)于垂直關(guān)系的理解有誤。顯然教師本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點(diǎn)，沒(méi)有找準(zhǔn)問(wèn)題所在，與學(xué)生的實(shí)際情況不符。

教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生群體的不同特點(diǎn)進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)。筆者曾對(duì)某學(xué)校普通班與實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生學(xué)習(xí)情況進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)了很多“意想不到”的結(jié)果。比如課后復(fù)習(xí)，按要求對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理、畫(huà)出知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖、認(rèn)真整理錯(cuò)題并規(guī)范書(shū)寫(xiě)正確過(guò)程的學(xué)生比例，普通班高于實(shí)驗(yàn)班；實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生“只在頭腦中簡(jiǎn)單回顧當(dāng)天所學(xué)內(nèi)容”的比普通班學(xué)生多，更多學(xué)生習(xí)慣于在錯(cuò)題旁邊寫(xiě)出思路要點(diǎn)、想清楚錯(cuò)誤原因。高三教師在關(guān)注學(xué)習(xí)成績(jī)的基礎(chǔ)上，要充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)習(xí)慣等，及時(shí)調(diào)整指導(dǎo)策略。

學(xué)生個(gè)體的差異客觀存在，這就要求教師反思前面兩年半的教學(xué)情況，幫學(xué)生進(jìn)行定位。高考作為大規(guī)模常模測(cè)試，關(guān)注的是學(xué)生整體排名。學(xué)生個(gè)體在選考時(shí)，要綜合考慮自己的愛(ài)好、特長(zhǎng)等因素，在制訂復(fù)習(xí)計(jì)劃和努力目標(biāo)時(shí)，也要綜合考慮自己的實(shí)際情況，想清楚在有限的時(shí)間和精力下，哪個(gè)學(xué)科（部分）提高的可能性更大、提高的速度更快。

高三教師要增進(jìn)對(duì)學(xué)生的了解，不僅僅是在課堂教學(xué)中多關(guān)注學(xué)生，也包括課后與學(xué)生多交流。高三復(fù)習(xí)，學(xué)生感覺(jué)壓力大，教師是學(xué)生在學(xué)習(xí)方面最信賴的人，教師要及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、遇到的困難，及時(shí)提供幫助，答疑解惑，進(jìn)行心理疏導(dǎo)等。教師可以通過(guò)重點(diǎn)跟進(jìn)、及時(shí)明示、激勵(lì)評(píng)價(jià)等方式提高學(xué)生的心理素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)態(tài)度和理性精神，讓學(xué)生在考場(chǎng)中尤其是在遇到難題時(shí)，能夠冷靜思考、大膽猜想、嚴(yán)謹(jǐn)論證。

教師要研究復(fù)習(xí)方法，注重提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平

近年，為了“秒殺”某類（或者某道）高考題，有人建議高三復(fù)習(xí)時(shí)拓展一些高中數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至建議增加高等數(shù)學(xué)、競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的內(nèi)容。如果一些學(xué)生確實(shí)學(xué)有余力，適度拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容也符合課標(biāo)的理念；但對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，學(xué)習(xí)并掌握這些新內(nèi)容需要時(shí)間和精力，會(huì)增加學(xué)習(xí)的壓力和負(fù)擔(dān)，這些新內(nèi)容今后的使用頻率不高，高考復(fù)習(xí)中拓展知識(shí)內(nèi)容確實(shí)需要慎重。

我們更應(yīng)該重視高三復(fù)習(xí)課的精準(zhǔn)和務(wù)實(shí)。有的教師嚴(yán)格按照高考要求進(jìn)行教學(xué)，“考什么講什么”“怎么考怎么講”，直接把高考對(duì)某個(gè)內(nèi)容的要求作為一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，并不十分科學(xué)。在復(fù)習(xí)課中，課時(shí)目標(biāo)不求多、不求全，要精準(zhǔn)、明確、具體，教學(xué)過(guò)程中要重落實(shí)、重指導(dǎo)、重生成。

對(duì)于學(xué)生在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題，教師要給出具體的方法。比如前面提到的那節(jié)高三試卷講評(píng)課，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出立體幾何圖形底面的平面圖（而不是立體圖），在平面圖中標(biāo)出位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再分析其中點(diǎn)、線的位置關(guān)系，或者將不規(guī)則的立體圖形補(bǔ)成熟悉的長(zhǎng)方體，借助長(zhǎng)方體分析其中各元素之間的位置關(guān)系等，同時(shí)要有相應(yīng)的變式題目進(jìn)行練習(xí)和鞏固。對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，教師要有具體的方法指導(dǎo)和示范，尤其是對(duì)于計(jì)算錯(cuò)誤這種典型問(wèn)題，很多教師只是反復(fù)強(qiáng)調(diào)“要認(rèn)真”“多練習(xí)”，這種表達(dá)太空泛了，學(xué)生主觀上一定是認(rèn)真的，也會(huì)努力的，如果沒(méi)有找到算錯(cuò)的原因，沒(méi)有恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ岸嗑毩?xí)”可能就是在強(qiáng)化錯(cuò)誤，適得其反。

教師要幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系。豐富的聯(lián)系不僅能幫助學(xué)生理解內(nèi)容，而且不容易忘記。對(duì)于創(chuàng)新題和難題，教師一定要講自己的思考過(guò)程，包括在解決問(wèn)題過(guò)程中遇到的困難以及是如何解決的，解決的過(guò)程中出現(xiàn)過(guò)哪些新的問(wèn)題，甚至自己走的彎路，等等。通過(guò)教師的示范，尤其是展示思考過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到“當(dāng)我們不知道做什么的時(shí)候怎么做”。

教師要提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的參與度。思維參與的深度和廣度直接影響著解題效率。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的參與，不僅僅是讓學(xué)生用更多的時(shí)間來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更重要的是通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，加深對(duì)客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)的一般性認(rèn)識(shí)。

第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，一題多解是常見(jiàn)的幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系、培養(yǎng)發(fā)散思維的方法。第二輪復(fù)習(xí)時(shí)，多解歸一、多題歸一更是數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法的一般性的概括，能促成對(duì)通性通法更上位的理解。在復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)化歸，以及數(shù)學(xué)的符號(hào)化表達(dá)能力，拓展思維參與的深度和廣度，提高數(shù)學(xué)思維的靈活性。

無(wú)論課上還是課下，教師都要不斷促進(jìn)學(xué)生自我反思和調(diào)整，不斷加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法和考試策略的指導(dǎo)。比如高三第二輪復(fù)習(xí)，不僅要讓學(xué)生從答題者角度進(jìn)行反思（解答過(guò)程中需要注意什么？），還應(yīng)讓學(xué)生換位思考，從出題人的視角分析整套試卷（每個(gè)題目考查了哪些知識(shí)？考查了哪些方法？試卷的整體結(jié)構(gòu)是什么樣的？參考答案中為什么選擇了這個(gè)解答方法？），甚至可以從閱卷教師的角度分析標(biāo)準(zhǔn)答案（評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的確定依據(jù)是什么？如何規(guī)范書(shū)寫(xiě)？）。

無(wú)論基礎(chǔ)題還是創(chuàng)新題，高三復(fù)習(xí)時(shí)都要有具體的策略。每年的高考命題都是穩(wěn)中有新，因此要有適度的練習(xí)和適度的形式化，但是千萬(wàn)不要僵化。

（作者系北京教育學(xué)院教授、數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院副院長(zhǎng)、數(shù)學(xué)教育研究中心主任）

《中國(guó)教育報(bào)》2023年02月10日第3版