數(shù)學備考應樹立三個目標意識

構建完整知識體系、增強求變轉化意識是備考復習的重要目標，也是數(shù)學解題策略的實施要求。每一道數(shù)學問題的解答，都必須聯(lián)系已學知識、已解問題與已有的方法經(jīng)驗，需要解答者熟稔掌握數(shù)學知識與問題的關系結構，根據(jù)知識與問題間的聯(lián)系，將待解問題化簡、轉化為已解問題或可應用已學知識的問題。所以，深度的數(shù)學備考復習，要總結應試必備的思維策略方法，更要著力研究知識與問題的關系結構，著重凝練化簡與轉化思想。因此，在復習備考時必須具有以下三個目標意識。

知識系統(tǒng)化——

    立足基礎突出主干，構建完整知識體系

歷年高考數(shù)學對解析幾何、函數(shù)與導數(shù)、向量與幾何、概率與統(tǒng)計等核心模塊的考查，中考數(shù)學對平面幾何基本圖形關系與二次函數(shù)問題等主要知識的考查，都是深入、系統(tǒng)的。因此，復習中要重視主干知識的地位與作用，經(jīng)常圍繞主干進行知識與問題的關系建構，將主體知識的系統(tǒng)化作為備考關鍵內(nèi)容。數(shù)學的具體概念、法則、定理、公式、方法、問題都是相互關聯(lián)的，深度的復習要掌握知識生成與論證的縱向關系，也要理解不同章節(jié)甚至不同學科知識間的橫向關聯(lián)，還要熟練掌握由數(shù)學知識鏈密集交匯而形成的與眾多知識問題有直接關聯(lián)的“簇知識”。日常學習要認真研究知識與問題的關系，復習時不僅要進一步明確并掌握知識與問題的關系，還要注重研究知識與問題的整體結構，以形成對知識與問題的“結構性理解”，進而實現(xiàn)知識系統(tǒng)化這一具有扎根筑基性質的學習目標。

知識系統(tǒng)化是分析與解決數(shù)學問題的思維基礎。著名數(shù)學家喬治·波利亞在其《怎樣解題》一書中指出，解題在“擬定計劃”環(huán)節(jié)，可考慮：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題，你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？這些思考告訴我們，解題時應通過聯(lián)想，把問題置于與之相關聯(lián)的知識與問題系統(tǒng)中，從問題與已學知識、已解問題的聯(lián)系入手綜合思考，可稱之為解題思維的“系統(tǒng)原則”。這個原則揭示了解題思維的基本規(guī)則，適用于所有數(shù)學問題的解答，也適用于所有非數(shù)學問題的解答。成功的解題需要有一個知識與問題的系統(tǒng)關系網(wǎng)，網(wǎng)中的知識與問題越有序、精細無漏洞，越有利于迅捷聯(lián)想與順利轉化，關系網(wǎng)越大，轉化的路徑與方法也越多。

方法思想化——

    運算推理兩翼并重，增強求變轉化意識

運算與推理是解證數(shù)學問題時實現(xiàn)化簡、化歸的主要手段，也是解答數(shù)學高考試題的關鍵能力，二者在解題過程中經(jīng)常共同合作、相互推進，在備考復習中應充分重視。具體的運算與推理方法很多，深度的備考復習要注重理解蘊含在每一個方法中的求變意識與化歸思想，以使眾多方法在被歸結成同一思想后更易于認識與理解，并能用單一的思路簡易處理各類繁雜問題。深度的復習，要增強將問題轉化為已解問題與已知知識的意識，也要在使用各種方法時多感悟方法的化簡與化歸功能，要回顧思維路徑，看清轉化化歸的過程，還要從中總結方法經(jīng)驗和一般化的解題策略原則。日常解題中要著力研究解題的基本方法，而復習時不僅要進一步熟練運用已知方法，還要注重通過一題多解、多題歸一、多法歸一等方式掌握問題間的關系與結構，并從中凝練出歸結眾多方法處理大量問題的數(shù)學思想，進而達成方法思想化這一具有高位統(tǒng)攝性質的學習目標。

概括運算與推理方法的轉化化歸思想，是分析與解決數(shù)學問題的思維利器。波利亞指出，解題在擬定計劃時，要思考：你能不能用不同的方法重新敘述它？如果你不能解決所提出的問題，可否先解決一個與此有關的問題？你能不能想出一個更容易著手的有關問題，一個更普遍的問題，一個更特殊的問題，一個類比的問題？這些思考告訴我們，解題時應借助聯(lián)想中得到的知識與問題的關系進行命題變更，化抽象為直觀、化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉等，可稱之為解題思維的“多變原則”。這個原則揭示了解題思維的另一個基本規(guī)則，也適用于所有問題的解答，解題中的因果、數(shù)形、整零、和積與動靜等轉換，配方、消元、換元、反證等方法，都是轉化化歸思想和這個原則的特殊體現(xiàn)。成功的解題需要能指導思維方向的數(shù)學思想，思想越有概括性，越可將眾多的知識與問題歸結到簡單范疇進行統(tǒng)一認識與思考，也越易于將其融會貫通地應用在更多類別的解題過程中。

思維策略化——

    通法為主特技為輔，力促解證周密有序

思維策略是影響考試解題成敗的一個關鍵因素，需要在備考復習中予以充分關注。一般來說，“會而不對”是導致考試不理想的主要原因，考試解題時應將試卷問題分為難、中、易三類，對困難問題采用回避、暫不思考或盡力尋找可得分點等策略，對中、易題采用通法為主特技為輔、以確保萬無一失的策略。在數(shù)學運算與推理中，為規(guī)避常規(guī)錯誤的發(fā)生，多運用熟悉的通用的方法，不用或少用不熟悉的特殊技巧，是解題思考時要遵循的“正合原則”?！罢显瓌t”對數(shù)學中、高考試題解答的重要啟示是：解題時不可不著邊際無目標地思考，而應從條件與結論出發(fā)，結合已學知識與已有經(jīng)驗，先聯(lián)想解決同類問題的常規(guī)思路，在找不到常規(guī)思路或所找思路難以實施時，再尋求特殊的可出奇制勝的方法。數(shù)學高考中的大部分試題都可以用通法解答，對少部分難題可采用適當回避策略，這與日常練習中“樂解難題”的思路正好相反，但并不矛盾。

數(shù)學難題解答中“會而不對”的現(xiàn)象很常見，因而是備考復習和考場發(fā)揮時最需要關注的問題。要克服輕慢與疏忽的心理弱點，力促解證周密有序，做到周而不疏、密而不漏，這是解題思考時應遵行的“縝密原則”?！对鯓咏忸}》在“弄清問題”“擬定計劃”“實行計劃”“回顧反思”環(huán)節(jié)，也給出了許多建議，如：希望解題者能注意分辨清楚未知數(shù)、已知數(shù)據(jù)、條件各是什么，整體關注包含在問題中的所有概念，看是否已利用了所有已知數(shù)據(jù)和條件，并懂得檢驗每一個步驟，直到能清楚看出并能證明其是正確的，等等。因此，考生備考復習要努力強化縝密的思維習慣，在考試中能有意識地在易錯環(huán)節(jié)放慢速度，有條不紊、步步有據(jù)地進行運算與推理，能在解答后懂得檢驗一些可疑的運算與推理步驟，盡力減少日?？荚囍谐Ｒ姷摹皶粚Α爆F(xiàn)象。

總之，以上三個目標意識，都是數(shù)學解題策略的實施要求?！跋到y(tǒng)原則”倡導的是以聯(lián)系的觀點審視問題，要求備考復習應有知識系統(tǒng)化的目標意識?！岸嘧冊瓌t”倡導的是以運動變化的觀點處理問題，要求備考復習應有方法思想化的目標意識。而“正合原則”“縝密原則”指出的則是考試答題的時間與精力分配策略問題，要求備考復習應有思維策略化的目標意識。同時，由于數(shù)學高考試題中的偏、難、怪題始終是極少數(shù)的，備考復習也應針對這一特點，制定好學習時間分配策略，集中加強主干知識與基本思想方法的學習，并針對日常的薄弱環(huán)節(jié)與常犯錯誤，對高考中難題型進行深入研究。

（作者系福建教育學院數(shù)學研修部副教授）

《中國教育報》2023年02月10日第3版